Лабиринт вопросов

317. Поразительная память (Фокус с делимостью на 37) 🔹 Условие: Можно мгновенно дополнить любое трехзначное число еще тремя или шестью цифрами так, чтобы получившееся шести- или девятизначное число делилось на 37. Для этого используется признак делимости на 37. 🔹 Признак делимости на 37: Разбейте число справа налево на грани по 3 цифры. Сложите полученные числа. Если сумма делится на 37, то и исходное число делится на 37. 🔹 Пример: Число 153217 делится на 37, так как 153 + 217 = 370, а 370 де...

322. Обобщённый признак делимости Условие: Существуют две группы «счастливых» делителей: 1 Множители числа d = 10ⁿ + 1 (при n = 1, 2, 3, 4...). 2 Множители числа d = 10ⁿ – 1 (при нечётных n). Правило для группы 1 (пример: 73, 137): • Рассечь число на грани по n цифр (для 73 и 137: n = 4). • Сложить грани через одну, начиная справа. • Сложить остальные грани. • Вычесть меньшую сумму из большей. • Если разность делится на p, то и число делится. Пример: Число 837 369 173 504 831 (проверка на 73 и 1...

321. Распространение признака на другие числа Условие: Метод, аналогичный признакам делимости на 7, применим к числам 13, 17, 19. Правило для 13, 17, 19: Умножить крайнюю левую цифру соответственно на 3, 7 или 9 и вычесть следующую цифру; результат умножить на тот же множитель и прибавить следующую цифру; чередовать вычитание и сложение. После каждого действия можно корректировать результат на число, кратное делителю. Пример для 19 (число 2 075 427): 2 × 9 = 18 ≡ –1 –1 – 0 = –1 –1 × 9 = –9 –9 + ...

323. Курьёз делимости Условие: Существуют четыре десятизначных числа, в каждом из которых все цифры от 0 до 9 встречаются ровно по одному разу, и которые делятся на все числа от 2 до 18 включительно. Числа: 1 2 438 195 760 2 4 753 869 120 3 3 785 942 160 4 4 876 391 520 Задача: Проверить делимость одного из этих чисел на числа от 2 до 18.

319. Делимость двучлена Условие: Рассматриваются многочлены с целыми коэффициентами. Если многочлен P(x) делится на многочлен M(x), т.е. P(x) = M(x)·Q(x), и все коэффициенты – целые, то при подстановке целого x (кроме обращающих делитель в ноль) значение P(x) делится на значение M(x). Основной вопрос: При каких условиях двучлены вида xⁿ ± aⁿ делятся на x ± a? Выводы: • xⁿ + aⁿ делится на x + a только при нечётном n. • xⁿ – aⁿ делится на x – a при любом n. • xⁿ – aⁿ делится на x + a только при чё...

​325. «Звездочка» Условие: На шестиконечной звезде (см. рисунок) расставьте числа от 1 до 12 так, чтобы сумма чисел в четырёх кружках каждого из шести лучей равнялась 26. Задача: Подготовьте фишки и найдите требуемое расположение.

318. Объединённый признак делимости на 3, 7 и 19 🔹 Условие: Произведение простых чисел 3, 7 и 19 равно 399. Подмечено следующее свойство: Если число вида 100a+B где B — двузначное число, a — любое целое положительное) делится на 399 или на какой-либо из его множителей, то вместе с ним на то же число делится и a+4B. 🔹 Задачи: 1 Доказать это утверждение. 2 Сформулировать и доказать обратную теорему. 3 На основании доказанного установить объединённый признак делимости чисел на 3, 7 и 19.

331. Пришельцы из Китая и Индии Условие: Волшебные (магические) квадраты — древнейшие числовые головоломки. Самый ранний известен из Китая (4–5 тыс. лет до н.э.): 4 9 2 3 5 7 8 1 6 Суммы строк, столбцов и диагоналей равны 15. Индийский квадрат IV века (4×4): 1 14 15 4 12 7 6 9 8 11 10 5 13 2 3 16 Сумма любого ряда = 34. Дополнительные свойства этого квадрата: 1 Сумма угловых чисел = 34. 2 Суммы в каждом из 5 маленьких квадратов 2×2 = 34. 3 В каждой строке есть пара чисел с суммой 15 и пара с сум...

​329. «Планетарий» Условие: 1 Малый планетарий (см. рисунок): 16 «планет» на 4 орбитах и 4 радиусах. Расположите числа 1–16 так, чтобы сумма вдоль каждого радиуса и каждой орбиты = 34. 2 Большой планетарий (см. рисунок): 25 «планет» на 5 орбитах и 5 радиусах. Используйте числа 1–25, сумма вдоль радиуса и орбиты = 65. Задача: Найти хотя бы по одному решению для каждого случая.

320. Старое и новое о делимости на 7 Условие: Известны несколько индивидуальных признаков делимости на 7. Первый признак: Число делится на 7, если результат записи его цифр в троичной системе (читая цифры как десятичные) делится на 7. Видоизменённый признак: Умножаем первую слева цифру на 3, прибавляем следующую, результат умножаем на 3, прибавляем следующую и т.д. После каждого шага можно вычитать 7 или его кратные. Если итог делится на 7, то исходное число тоже делится. Пример: Проверим число ...