Геометрия с Ниловым

Дан отрезок AB, M — его середина. На отрезках AM и BM построили синие квадраты. Красная кривая-восьмерка - это множество точек, для которых произведение расстояний до A и B равно площади синего квадрата (лемниската Бернулли). Тогда площади, ограниченные восьмеркой из двух квадратов и лемнискатой-восьмеркой, равны. P.S. С 8 марта, весны вокруг и на душе!

Воссозданная модель башни Татлина и фото с возведением макета (Татлин внизу справа) на выставке в культурном центре "Зотов". По плану высота башни должна была быть 400 м, нижний куб должен был совершать полный оборот за год, пирамида выше - за месяц, цилиндр выше - за день, а верхняя полусфера - за час.

Моя задача со вчерашних Московской олимпиады и Турнира городов. Если красные отрезки равны, то синие углы тоже равны. Эту задачу я вывел из такого интересного общего утверждения (разумеется, ее можно решить по-другому). На плоскости даны четыре точки общего положения. Тогда произведение модуля степени одной из них относительно окружности, проходящей через три других, на площадь треугольника, образованного тремя другими, не зависит от выбора точки. Его легко можно получить, используя определители...

Пусть диагонали синего четырехугольника перпендикулярны, все красные треугольники правильные. Тогда красные отрезки перпендикулярны.

Покрасьте грани икосаэдра в пять цветов так, чтобы любые две грани, окрашенные в один цвет, не имели общих точек, даже вершин. Подсказка. Среди граней икосаэдра есть четверки граней, плоскости которых образуют правильный тетраэдр.

Квадраты вокруг четырехугольника. На сторонах произвольного оранжевого четырехугольника (в центре) во внешнюю сторону построили белые квадраты, некоторые их вершины соединили отрезками, на которых опять построили белые квадраты и т.д. Тогда в каждом слое суммы площадей многоугольников одного цвета равны и в целое число раз больше площади изначального четырехугольника. P.S. См. также: https://www.kvant.digital/view/kvant_2022_1/49/

Простая и красивая задача с XIX международной математической олимпиады в Белграде (1977 год). На сторонах квадрата ABCD во внутренню сторону построили правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Доказать, что середины четырех отрезков KL, LM, MN, NK вместе с серединами восьми отрезков AK, AN, BK, BL, CL, CM, DN, DM являются вершинами правильного двенадцатиугольника. Попробуйте решить ее в уме!

Теорема Паппа. Синий и зеленый параллелограммы - произвольные, три красных отрезка параллельны и равны. Тогда площадь красного параллелограмма равна сумме площадей зеленого и синего.

Задача Александра Кузнецова с регионального этапа ВСОШ. В пространстве расположены 2026 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек. Замечание. Картинка сверху - для привлечения внимания. Внутренности сфер могут пересекаться.

Задача Л.А. Емельянова из задачника Математического просвещения. Сфера раскрашена в два цвета. Докажите, что на ней найдется правильный треугольник с одноцветными вершинами.