Что скрывается за пределами 12 нот Двенадцать нот кажутся естественными — настолько привычными, что трудно представить музыку иначе. Однако с математической точки зрения это всего лишь одно из решений задачи на приближение. Равномерно темперированный строй изящен тем, что аккуратно устраняет пифагорову комму и делает систему замкнутой. Но за это приходится платить точностью: некоторые важные интервалы он приближает довольно грубо. Например, чистая большая терция — это отношение 5:4 = 1,25. В 12-ступенном строе ей соответствует интервал 2⁴ᐟ¹² ≈ 1,2599. Разница невелика, но для слуха она заметна. Если поставить цель приблизить натуральные интервалы точнее, математика сразу подсказывает следующий шаг: увеличить число ступеней. Деление октавы на 19, 31 или 53 равные части даёт значительно лучшие приближения квинт, терций и других интервалов гармонического ряда. В 53-ступенном строе квинта отличается от идеального отношения 3:2 менее чем на один процент — это практически предел слуховой различимости. Здесь нет никакой мистики. Мы просто ищем такие целые числа a и b, чтобы (3/2)ᵃ ≈ 2ᵇ. Число 53 возникает как знаменатель одной из удачных рациональных аппроксимаций логарифма log₂(3/2). Музыкальный строй в этом смысле оказывается побочным результатом теории чисел. Но можно сделать и более радикальный шаг — отказаться от самой октавы как базового цикла. В гармоническом ряду после удвоения частоты (2f) следует утроение (3f). Если взять отношение 3:1 за основной период, возникает шкала Болена–Пирса. Она строится не на октаве, а на тритаве и делит её на 13 равных шагов, каждый из которых равен 3¹ᐟ¹³. В этой системе отсутствуют привычные мажор и минор. Консонансы опираются на нечётные гармоники — например, отношения 3:5:7. Звучание оказывается непривычным, но при этом внутренне согласованным: система строго следует собственным правилам. Все эти строи — не экзотика ради экзотики. Они наглядно показывают, что любая музыкальная теория является вычислительной моделью. Каждая из них оптимизирует одни параметры, жертвуя другими: чистый строй — акустически точные аккорды, но ограниченная модуляция; 12 нот — умеренная точность и полная универсальность; 31 или 53 ступени — высокая точность и усложнение исполнения; шкала Болена–Пирса — иной базовый интервал и иная гармоническая структура. Выбор двенадцатиступенного строя — исторически удачное решение конкретной задачи с конкретными ограничениями. Но математика показывает, что таких решений существует множество. И каждое из них задаёт собственный способ упорядочить звук и услышать гармонию. Музыка, как и математика, значительно шире привычной нам шкалы.