Модельная структура на категории графов эквивалентная пространствам (аналогичная модельной структуре Томасона). Ещё один сюжет про модельные категории на графах, но уже совсем другой. Здесь, в отличие от предыдущей истории, гомотопическая категория получается эквивалентной категории пространств. И категория графов здесь другая. Здесь под графом понимается то, что я обычно понимаю под словом граф: простой граф. То есть 1-мерный симплициальный комплекс. Морфизмам разрешается посылать рёбра в точки (1-симплексы в 0-симплексы). Хорошо известно, что если есть кополная категория С, то любой косимплициальный объект X^ в С задаёт пару сопряженных функторов F : sSet <—> C : G, где F — единственный функтор, который коммутирует с копределами, и при сужении на симплекс категорию даёт X^, а G задаётся равенством G(c)_n = Hom(X^n,c). В категории графов Gr есть очевидный косимплициальный объект X^*, где X^n — это полный граф на множестве [n]={0,...,n}. Это нам задаёт пару функторов, которые я буду обозначать по аналогии с топологическими пространствами Re : sSet <—> Gr : Sing. Это пара сопряженности, но это ещё не та пара, которая эквивалентность Квиллена задаёт. На категории симплициальных множеств есть стандартная пара сопряженности Sd : sSet <—> sSet : Ex состоящая из функтора барицентрического подразбиения и правого сопряженного к нему функтора Ex. Компонуя эту пару сопряженности с самой собой и с той парой сопряженности в графы, мы получаем пару сопряженности Re ◦ Sd^2 : sSet <—> Gr : Ex^2 ◦ Sing. Оказывается при помощи этой пары сопряженности можно перенести модельную структуру с категории симплициальных множеств на категорию графов, которая определяется так: W) f слабая эквивалентность графов, если Ex^2 ◦Sing (f) слабая эквивалентность симплициальных множеств. F) f расслоение графов, если Ex^2 ◦ Sing (f) расслоение симплициальных множеств. C) Корасслоения графов можно определить при помощи свойства подъёма относительно тривиальных расслоений, но можно ещё сказать, что это насыщение множества Re ◦ Sd^2 (вложение рогов в симплексы). Оказывается, это получается модельная категория, и эта пара сопряженности — эквивалентность Квиллена. Таким образом, пространства можно моделировать при помощи графов. Это всё написано в статье Emilio Minichiello https://www.arxiv.org/abs/2508.08195 Там ещё в этой статье как промежуточный шаг разбирается модельная структура на категории симплициальных комплексов. По графу можно построить кликовый комплекс, и это промежуточный шаг. И это всё очень аналогично тому, как строится структура модельной категории Томасона на категории малых категорий https://ncatlab.org/nlab/show/Thomason+model+structure Для меня минус этого дела в том, что нетривиальную гомотопическую природу здесь имеют только графы, у которых много треугольников. Если в графе нет треугольников, то он просто моделирует соответствующее одномерное пространство, и все его инварианты — это инварианты этого одномерного пространства.