Модельная структура на категории графов (колчанов) 3. В предыдущем посте мы показали, что гомотопическая категория модельной категории колчанов Quiv эквивалентна её полной подкатегории, состоящей из дизъюнктных объединений циклов. Обозначим эту категорию через Cyc < Quiv. В комментариях Денис Терешкин задал вопрос о том, сводятся ли гомотопические пределы и копределы в этой модельной категории к обычным пределам и копределам в Cyc. Этот вопрос сводится к следующему: правда ли, что существует эквивалентность Квиллена между категорией Cyc с тривиальной модельной структурой и модельной категорией Quiv. Это действительно верно, и этому как раз посвящена статья https://arxiv.org/abs/0906.4087 Оказывается, что полная подкатегория Cyc корефлективна в Quiv. То есть для любого колчана Q есть универсальный морфизм G(Q) → Q, где G(Q) — дизъюнктное объединение циклов. Таким образом, возникает пара сопряжённости i : Cyc <—> Quiv : G, которая и определяет эту эквивалентность Квиллена. Для того чтобы понять конструкцию G, полезно сначала рассмотреть промежуточную полную подкатегорию Cyc' Cyc < Cyc' < Quiv, состоящую из колчанов, в каждую вершину которых одна стрелка входит и одна выходит. То есть это дизъюнктные объединения циклов и "бесконечных циклов", то есть колчанов вида ℤ (граф Келли ℤ). Это тоже корефлективная подкатегория с корефлектором G' : Quiv → Cyc', который мы сейчас опишем. G'(Q) строится следующим образом. Вершины G'(Q) — это морфизмы f : ℤ → Q, где ℤ рассматривается как колчан. Стрелки в этом колчане определяются так, что из f выходит одна стрелка, которая заканчивается в g, где g(x) = f(x+1). Универсальное отображение G'(Q) → Q задаётся так: f ↦ f(0). Тогда G(Q) получается из G'(Q) выкидыванием бесконечных циклов. В конце замечу, что из того, что Cyc корефлективна в Quiv, следует, что в ней есть малые пределы и копределы. Копределы такие же, как в Quiv, а пределы — это пределы в Quiv с последующим применением G.