Модельная структура на категории графов (колчанов) 1. Хочу рассказать про забавную структуру модельной категории на категории объектов, которые я лично называю колчанами, а авторы статьи называют графами. Здесь под колчаном Q я понимаю пару множеств Q_0 и Q_1 вместе с парой отображений d_0, d_1: Q_1 → Q_0. Морфизмы здесь определяются как пары отображений, которые коммутируют с d_0 и d_1. Легко видеть, что эту категорию можно описать как категорию предпучков на категории с двумя объектами и двумя стрелками. В частности, она локально представима. Замечу, что в этой категории нет "вырожденных" стрелок. То есть, в частности, есть колчан с одной вершиной и вообще без стрелок, и это не терминальный объект. А терминальный объект — это колчан с одной вершиной и одной петлей. Для того чтобы определить структуру модельной категории, нужно задать классы слабых эквивалентностей, расслоений и корасслоений. По пути можно также описать ацикличные корасслоения и ацикличные расслоения. Поехали. Слабые эквивалентности. Для n > 0 обозначим через C_n n-цикл, рассматриваемый как колчан. В частности, C_1 — это тот самый терминальный объект. Морфизм колчанов f: Q → Q' называется ацикличным, если отображение Hom(C_n, Q) → Hom(C_n, Q') является биекцией для любого n > 0. Например, любой морфизм между деревьями ацикличен. Слабые эквивалентности — это ацикличные морфизмы. Как я понимаю, мотивация для определения этой модельной структуры в том, что есть инварианты графов, выражающиеся через количество циклов, и люди начали изучать морфизмы, индуцирующие биекцию на множествах циклов. Расслоения. Для колчана Q и его вершины v обозначим через Q(v, ) множество стрелок, начинающихся в v. Отображение f: Q → Q' назовем сюръектирующим (surjecting), если индуцированное отображение Q( v, ) → Q'( f(v), * ) является сюръекцией для любого v. Такие отображения — это расслоения. Эти два класса (слабые эквивалентности и расслоения) уже однозначно задают класс корасслоений. Но давайте явно опишем и остальные классы. Ацикличные расслоения. Это просто ацикличные сюръектирующие отображения. Ацикличные корасслоения. В оригинале используется слово “Whiskering”, которое я решил перевести как "относительный лес". Если есть колчан Q, то относительный лес Q → Q' получается приклейкой корневых деревьев корнями к вершинам Q. Относительные леса — это ацикличные корасслоения. Корасслоения. Самый непонятный класс здесь — это корасслоения. Можно, конечно, сказать, что это отображения, удовлетворяющие свойству подъема относительно ацикличных расслоений. А можно описать их как насыщение некоторого явного множества морфизмов — что я и делаю дальше. Кофибратная порожденность. Эта модельная категория кофибратно порождена. Ацикличные корасслоения — это насыщение множества, состоящего из одного морфизма: вложения колчана с одной вершиной в колчан с двумя вершинами и одной стрелкой (0) → (0 → 1). Корасслоения — это насыщение множества из следующих морфизмов: 1) (0) → (0 → 1) 2) ∅ → C_n 3) C_n ⊔ C_n → C_n Последний морфизм наиболее контринтуитивный, потому что он не инъективен. Но легко видеть, что правое свойство подъема относительно него — это как раз инъективность на циклах. Колчан фибрантен тогда и только тогда, когда из любой его вершины выходит хотя бы одна стрелка. Колчан кофибрантен, если он получается приклеиванием леса к дизъюнктному объединению циклов. Бифибрантный колчан получается приклеиванием леса без листьев (бесконечных во все стороны корневых деревьев) к дизъюнктному объединению циклов. https://projecteuclid.org/journals/homology-homotopy-and-applications/volume-11/issue-1/A-homotopical-algebra-of-graphs-related-to-zeta-series/hha/1251832564.pdf https://arxiv.org/abs/0906.4087