Решение к задачам: 🗝️ Задача 1 — Шрек и волшебный мешок с ключами Решение: Количество попыток до первого успеха (включая попытку самого успеха) при независимых испытаниях с вероятностью успеха p распределено геометрически. Математическое ожидание для такого распределения равно 1/p: E(X) = 1 / 0.2 = 5 Таким образом, Шреку в среднем потребуется 5 ключей, чтобы открыть дверь и спасти Фиону! Ответ: 5 ключей 🧪 Задача 2 — Тест на огризм Решение: Мы ищем вероятность того, что персонаж действительно огр, если тест показал результат «огр». Это условная вероятность, которую считаем по формуле Байеса: P(Огр | +) = [P(+ | Огр) × P(Огр)] / P(+) Что означают члены формулы: 1. P(Огр | +) — вероятность, что тест не ошибся (то, что ищем). 2. P(+ | Огр) — шанс, что тест покажет «огр», если перед ним настоящий огр. 3. P(Огр) — доля огров среди всех жителей болота. 4. P(+) — общая вероятность, что тест покажет «огр» вообще. Когда тест показывает «огр», есть два сценария: 1 - Тест попал в точку — это действительно огр (например, Шрэк или Фиона). 2 - Тест ошибся — на самом деле это не огр (например, Осёл, Пряня или Пиноккио), но результат всё равно показал «огр». Поэтому: P(+) = (P(+ | Огр) × P(Огр)) + (P(+ | Не-Огр) × P(Не-Огр)) где: 1. P(+ | Не-Огр) - вероятность, что тест даст «огр», если перед ним настоящий НЕ огр. 2. P(Не-Огр) - доля НЕ огров среди жителей болота. Что известно: - Доля огров на болоте: P(Огр) = 2/6 = 1/3 - Доля не огров: P(Не огр) = 2/3 - Если персонаж — огр, тест почти всегда верный: P(+ | Огр) = 0.99 - Если персонаж — не огр, тест иногда ошибается: P(+ | Не-огр) = 0.05 Найдём общую вероятность положительного теста: P(+) = (0.99 × 1/3) + (0.05 × 2/3) = 0.363 Считаем саму условную вероятность: P(Огр | +) = (0.99 × 1/3) / 0.363 ≈ 0.91 То есть если тест показал «огр», то с вероятностью около 91% это действительно настоящий огр. Оставшиеся 9% — это случаи, когда тест ошибся и выдал ложный результат у Осла, Пряни или Пиноккио. Ответ: 0.91 👍 Понравился пост? Поддержи реакцией и перешли знакомым, которым он может быть полезен!