🎃🧲 Неравенства между средними величинами (a.k.a. частный случай неравенства о средних) — Доказательство + случай равенства ➡️ Предположим, есть некоторое конечное множество A, содержащее только положительные числа a₁, a₂, ... , aₙ. Введём величины: 🔘minNum = min(a₁, a₂, ... , aₙ) 🔘HM = n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ) (Среднее гармоническое) 🔘GM = (a₁a₂...*aₙ)^(1/n) (Среднее геометрическое) 🔘AM = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n (Среднее арифметическое) 🔘QM = √((a₁² + a₂² + ... + aₙ²)/n) (Среднее квадратическое) 🔘maxNum = max(a₁, a₂, ... , aₙ) Тогда верна следующая цепочка неравенств: minNum ≤ HM ≤ GM ≤ AM ≤ QM ≤ maxNum (для любого n — кол-ва чисел) 📌Причём равенства наступают во всех неравенствах только одновременно и только в одном случае: a₁ = a₂ = ... = aₙ. 🌲 Существует много доказательств этой важной и полезной теоремы, сегодня мы рассмотрим способ, опирающийся на метод математической индукции. 1️⃣ — Неравенство GM ≤ AM для n = 2ᵏ: ⏩Для 2-х чисел неравенство доказать совсем нетрудно, достаточно лишь заметить и выделить полный квадрат. Почти ясно, что для любой степени двойки можно делить сумму её элементов на две и применять ранее доказанное неравенство для 2-х чисел несколько раз. Но как быть с остальными числами? 2️⃣ — Неравенство GM ≤ AM для всех чисел: ➡️ Примечательно, но здесь помогает стратегия доказывать неравенство для n-1 числа через неравенство для n чисел путём замены последней переменной на некоторый "удобный" элемент (зависящий от всех предыдущих чисел). Эту удобность можно обрести, например, потребовав от правой части принимать желаемый для нас вид: корень степени n-1 для n-1 положительного числа. 3️⃣ — Неравенство HM ≤ GM: ⏩ Непосредственно следует из GM ≤ AM после подстановки bᵢ = 1/aᵢ. 4️⃣ — Неравенство AM ≤ QM: ⏩ Не связано с предыдущими напрямую, но также доказуемо с помощью выписывания всех попарных произведений чисел из A и применения следствия из неравенства GM ≤ AM для n = 2. Главное: аккуратно посчитать количество слагаемых. 5️⃣ — minNum ≤ HM; QM ≤ maxNum: 🤗 Идейно самые понятные и простые неравенства из этой цепочки. 🌟 Важная особенность этих неравенств, которую мы ещё не затронули: все неравенства обращаются в равенства тогда и только тогда, когда все элементы из А равны между собой. В одну сторону доказывается просто (minNum = maxNum), в другую — нужно подумать, но путь очень похож на тот, который мы делали до этого. 😛 Более детально с доказательством можете ознакомиться в фотографиях поста, либо в PDF в комментариях к этому же посту! 😃 #алгебра@curious_maths