🧱 Задача про мост из кирпичей (Неожиданное сочетание физики с математикой) 💬 Представим, что нам необходимо построить мост из кирпичей без использования цемента. С какими трудностями мы можем столкнуться? Оказывается, всё завязано на принципе центра тяжести — некой воображаемой точке, где сосредотачивается вес всего тела. Если проекция центра тяжести находится над ровной поверхностью, то тело не рухнет вниз, по направлению силы тяжести Земли. 💡 Значит, можно первый кирпич можно своей серединой поставить на край воображаемой пропасти — и он не упадёт. При установке 2-го кирпича необходимо, чтобы выполнились условия: 1️⃣🅰️ Центр тяжести верхнего кирпича находится над поверхностью нижнего; 2️⃣🅰️ Центр тяжести объединённой системы находится над ровной поверхностью. 💭 Наша задача — получить максимально длинный мост, поэтому выгодно выбрать установку верхнего кирпича своим центром тяжести именно на край нижнего. Другими словами, выбираем такое критическое положение, при котором движение в одну из сторон на ∀ε>0 влечёт обрушение конструкции. Таким образом, проекции центров тяжести двух кирпичей будут находится на расстоянии ровно L=x/2, где x — выбранное ребро для проектирования точек (расстояние от середины кирпича до его края на одной из его граней) ➡️ При совмещении двух кирпичей наблюдаем следующее явление: новый (объединённый) центр тяжести передвигается ровно в середину отрезка L, т.е. на x/4. ❗️ Таким образом, для удержания конструкции над пропастью, нужно сдвинуть нижний кирпич на x/4 в воздух, а верхний — ещё на x/2 в этом же направлении уже на нижнем кирпиче. Всего над пропастью будет находится: x/2+x/4 = 3x/4 Далее будем называть эту величину повиснувшей частью. 🌸 Продолжим строить мост. Теперь нужно добавить 3-й кирпич. Общий центр тяжести двух верхних кирпичей — в 2 раза менее подвижный, а значит при объединении с 3-им кирпичом по такому же механизму, как мы делали ранее, отрезок L разделится на части, обратно пропорциональные массам двух объектов: третьему кирпичу и объединению первых двух. То есть, итоговый центр тяжести сместится ещё на (x/2)(1/3) = x/6 от предыдущего положения. ✅ Аналогично при 4-х кирпичах центр тяжести сместится ещё на x/8, а общая свисающая часть над пропастью составит: x/2 + x/4 + x/6 + x/8 = x/2 (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4) При n кирпичах повиснувшая часть составит: x/2 Σ_{k=1}^n {1/k} = x/2 Hₙ За Hₙ обозначается n-ое гармоническое число как Hₙ = Σ_{k=1}^n {1/k} ⛔️ Гармонический ряд расходится, т.е. lim_{n —> ∞) Hₙ = ∞, см. доказательство на странице 4. ⚡️ Это свойство суммы Σ_{k=1}^∞ {1/k} позволяет сделать вывод о том, что свисающая часть при добавлении новых кирпичей может расти неограниченно. Причём, так как Σ_{k=1}^n {1/k} ∈ O(log n) 👍 Для того, чтобы перебросить мост через Гранд-Каньон в самом узком его месте — 180 м, понадобится не менее 10⁶²⁵ стандартных кирпичей (длиной 250 мм). Для сравнения, в наблюдаемой Вселенной порядка 10⁸⁰ атомов. ❌ Однако, такой замысел в реальных условиях нереализуем. Только в абстрактном математическом мире можно идеально совмещать центры тяжести с границами кирпичей. Да и использовать этот мост в реальности было бы невозможно — малейшее нарушение баланса ведёт к разрушению всей конструкции. #математическийанализ@curious_maths #алгебра@curious_maths