ПОДГOFFКА К EXAM №11 | ЛИНЕЙКА | Диагонализируемость линейного оператора Представим, что у нас есть линейный оператор, т.е. преобразование пространства. Диагонализируемость - это возможность найти такую систему координат, в которой это преобразование выглядит максимально просто, т.е. этот оператор может изменить длину. Т.е. оператор может по каким-то направлениям воздействовать на вектор, который лежит на этом направлении. Оператор его не повернет, а просто увеличит или уменьшит на какое-то число. Так вот, эти загадочные направления есть не что иное, как собственные векторы, а увеличиваем или уменьшаем вектор на собственно число Например, у нас есть портрет Моны Лизы и мы хотим растянуть ее. Если не диагонализировать, то мы потянем картину в разные стороны и квадратный портрет превратится в параллелограмм. Чтобы описать такое преобразование нужна сложная матрица. А если бы мы ее диагонализировали, т.е. нашли главные оси деформации, например вертикаль и горизонталь, то потянув картину по этим осям, мы спокойно увеличили картину без перекосов прекрасного лица Моны Лизы. По таким направления/векторам/базису матрица оператора становится диагональной - все ее ненулевые числа стоят на главной диагонали и вы не поверите, все эти числа собственные Но диагонализировать можно не всегда. Главное условие - это наличие достаточного количества линейно независимых собственных векторов, чтобы их хватило на базис