ПОДГOFFКА К EXAM №10 | ЛИНЕЙКА | Линейные отображения. Ядро и образ линейного оператор Представим, что у нас есть прибор (оператор), который что-то перерабатывает. Мы можем загрузить в этот прибор сырье (вектор из одного пространства), а на выходе получить готовое изделие (вектор в другом пространстве). Прибор честный, поэтому сколько сырья вы подадите на вход, столько будет и на выходе (однородность) и если вы будете грузить две партии вместе, то результат будет таким же, как если бы вы грузили партии отдельно (аддитивность) Ядро - это особый вид сырья, который при переработке дает нулевой выход. Например, если мы воспринимаем (грубо) прибор как печку, то если мы положим метал, то он затвердеет, а если положим бумагу, то она сгорит. Т.е. ядро - это тот тип сырья, который прибор не видит/читает/воспринимает и вообще ему плевать на это сырье Еще пример: какая партия сырья (x, 2y) даст 0 минут на упаковку (допустим наш прибор что-то упаковывает)? Если х - это микроволновка, а у - кофемашина, то чтобы получить 0 минут на упаковку, нам нужно положить 1 микроволновку и -2 кофемашины. Физически невозможно положить -2 кофемашины, но математически возможно все. Т.е. здесь ядро - это все векторы вида (t, -2t), где t - любое число. Получается линия, направление которой прибор зануляет. И еще аналогия: ядро - это все, что не попадает в кадр и исчезает из вида (если линейный оператор - это фотография, которая переносит из пространства физического в цифровое). Например, все, что сзади фотографа. Или еще: ядро - это шредер, который потрошит бумагу (я так могу весь день) А зачем тогда ядро вообще нужно? Чего не видно, того и нет, разве не так? Так, но ядро - это важная характеристика линейного преобразования, которая позволяет оценить масштаб проблемы. Ядро фигурирует в теореме о ранге и дефекте: размерность всего пространства = размерность ядра + размерность образа. Кстати, про образ... Образ - что-то похожее на область определения функции, т.е. это все возможные продукты, которые может выдать наш прибор, если мы будем туда загружать что хотим. Ну и как раз, если мы считаем наш прибор упаковочным, то прибор может выдать время на упаковку той или иной штуки