Если причастие прошедшего времени стоит после глагола have в любой его форме, то это сочетание образует какое-то из совершённых времён - PERFECT TENSES, то есть совершённую форму настоящего, прошедшего или будущего времён. Любой Perfect - это сочетание глагола have и причастия прошедшего времени - дословно: имею сделанным. Объясню это на примере Present Perfect: I have charged my iPhone - дословно: я имею заряженным свой Айфон - речь идёт о том, что Айфон заряжен к моменту в настоящем, то есть говорящий подчёркивает результат на настоящий момент. Таким образом, Present Perfect удобнее всего запомнить по формуле have done - имею сделанным. В случае с глаголом begun мы получим следующие личные формы глагола: Первое лицо единственного числа: I have begun to study English. - Я начал изучать английский язык. дословно: Я имею начатым изучать английский. - к настоящему моменту я начал изучение английского и пока ещё это дело не забросил. Второе лицо единственного числа: You have begun to gain extra weight! - Ты начал набирать дополнительный вес и продолжаешь это делать: ты становишься всё толще и толще! - форма второго лица множественного числа совпадает с формой единственного числа, так как you - это и ты и вы одновременно. Так как Present Perfect - это форма настоящего времени, то вспомогательный глагол принимает окончание -s и форму has: The local bus company has begun equipping some of its vehicles with the tracking facility. - Местная автобусная компания начала снабжение некоторых из своих транспортных средств отслеживающим оборудованием. - автобусная компания начала к моменту в настоящем установку следящего оборудования - уже начала, но пока ещё не прекратила. Первое лицо множественного числа: We used the subway only once and did not use buses very frequently. Also, we have begun to slow our travel down and [have begun] to use cabs more often. - Мы использовали метро только единожды и не использовали автобусы очень часто. Также, мы начали замедлять наше путешествие и начали использовать такси чаще. - давайте разберёмся с глагольными формами: очевидно, что говорящий находится в загранпоездке и сначала рассказывает, каким транспортом они пользовались в начале поездки - для этого они использовали Past Indefinite (Simple) - used и did not use - это события в прошлом, сейчас такими средствами транспорта они больше не пользуются; к настоящему моменту они замедлили скорость своего путешествия (have begun to slow down - то есть смотрят меньше достопримечательностей в день) и начали и продолжают использовать такси чаще - have begun to use. Третье лицо множественного числа: Most affected countries have begun to increase their domestic investment in HIV/AIDS programmes. - Наиболее пострадавшие страны начали (дословно: имеют начатыми) наращивать свои внутренние инвестиции в программы [по борьбе с] ВИЧ/СПИД.