Zeta[s] RH

В дополнение к предыдущему сообщению, обнаружил у тех же авторов похожий критерий ГР использующий четвёртую производную кси-функции. Компьютерная проверка показала идеальное совпадение, т.к. сумма корней^-4 сходится значительно быстрее:

Заставил W.Math. искать значения функции RiemannSiegelZ в плохих Gram точках и выводил среди них последовательность монотонно стремящуюся к нулю (для начальных 123456 точек Грама, получил минимальное значение 0.00023). Похоже, ничего не мешает, чтобы при увеличении n, очередная точка Грама и ближайший Zeta нуль совпали!? (но такой феномен ещё не найден ♾)

Видим значительное нарушение правила Грама уже около первой пары Лемера (D.H. Lehmer, 1956). Обнаруживаем: если такая пара схлопнется и нули сойдут с критич. оси, то соответствующие точки Грама продолжат обрамлять точку схода. Предлагаю капнуть константу де Брёйна — Ньюмана почти доказывающую ГР.

Недавно появился простой критерий справедливости ГР (см.скан ^). Численная проверка показывает правдоподобность этого утверждения:

Понравилась заметка Ю. Матиясевича о естественно возникающей функции ζ₂(s), которая обращается в ноль на нетривиальных нулях дзета-функции Римана и имеет ещё один ноль 6.2898.., лежащий на критической прямой. Потестировал свойства ζ₂(s) с помощью W.Math. (cм. сканы ^^ ) 🍁 Для траекторий нулей её мнимой части, проявился двусторонний барьер в виде прямой Re z = -1/2 ⛓!?

Недавно наш админ сконструировал новое семейство полиномов для которых сформулировал и решил трудную задачу на экстремум. Дополнительно я заметил интересное поведение корней этого семейства: нули выстраиваются по окружностям (см.скан). Причем проверка показала, что все нули полиномов степени до n < 1001 лежат внутри единичного круга. Предлагаю доказать это для любого n или найти опровергающий пример.

Статью Xiao Lin с док-вом Гип.Римана мы уже разбирали, он продолжает её дополнять, так в очередной публикации от 22 марта 2024 (pdf приложен ^) в конце после неравенства (45) есть изменения по сравнению со статьёй 2023 года, в частности добавлены интересные аппроксимации и оценки. ⏳ Ещё любопытные рассуждения в стиле К. Капитонец (и соседние посты), можете увидеть в публикации Riemann’s hypothesis is rejected by definition 😳

Представляю доклад Keith Ball "Rational Approximations to Zeta Function" (особенно с 13') открывающий конференцию Perspective on the Riemann Hypothesis. Для удобства нашёл комплект соответствующих слайдов, - покрутите на ПК его интересные мысли 🖥

Расширяя тематику, рассмотрю Дзета-функцию Гурвица или функцию Zeta(s, q) с параметром q, у которой появляются неустойчивые траектории корней при изменении параметра q от 1 до 1/2. Разбираю это на скане. Аналог гипотезы Римана для Zeta(s,q) опровергается: нули сходят с оси, если q не равно 1 или 1/2 🫙