Всегда любил каплинги (они же спаривающие меры, они же многозначные отображения, они же полиморфизмы, они же планы перевозок и пр.) Идея в том, что для сравнения вероятностей двух событий надо умно реализовать их на одном вероятностном пространстве. Простой пример: красим каждую грань многогранника с вероятностью p независимо от остальных. Тогда вероятность того, что есть три попарно смежные покрашенные грани, возрастает с ростом p. Доказательство: пусть лучше каждая грань выбирает число от 0 до 1, и мы красим её, если число меньше p. Тогда наши события при разных p просто вложены друг в друга, и монотонность очевидна. Лёша Куликов обратил внимание на свежую работу на эту тему. Пусть n человек рассаживаются по k автобусам, выбирая, в который автобус сесть, равномерно и независимо. Рассмотрим вероятность p(k) того, что кто-то окажется единственным в своём автобусе (n считаем постоянным, а k переменным). Теорема. p(k) возрастает по k при данном n. Доказательство. Сравним p(k+1) и p(k). Можно считать, что дело обстоит так: сначала люди рассаживаются по k+1 автобусу, потом автобус семёрка ломается и люди оттуда рассаживаются по остальным. Нас интересуют вероятности двух событий: A - что до поломки был одинокий пассажир, B - что он есть после поломки и пересаживания. Сравним события A\B и B\A. Как могло произойти событие B\A? Скажем, Вася пересел из семёрки в пустую тройку, причём до поломки одиноких не было. Но до поломки могло быть так, что Вася - единственный в семёрке, потому что остальные, выбравшие семёрку, выбирали бы тройку (а всё остальное как было), а потом Вася пересел в тройку. В этом случае происходит A\B, и это имеет ту же вероятность.